Рассматривается вопрос численного решения задачи о конвективном течении вязкой жидкости в двумерной области со свободной границей. С точки зрения численного моделирования присутствие свободной границы ставит большую проблему, так как положение границы заранее неизвестно и нуждается в определении как при решении нестационарных задач, так и в стационарном случае. Сегодня для исследования таких задач применяются разнообразные численные методы. Рассмотрен метод конечных разностей, при этом исходная задача формулируется в терминах «вихрь — функция тока». Такой подход имеет ряд преимуществ при рассмотрении двумерных течений, так как в этом случае уравнение неразрывности выполняется точно, что особенно важно, когда нет оттока или притока жидкости в рассматриваемую область. Однако в случае использования функции тока и вихря значительно усложняется вид граничных условий на свободной поверхности, что затрудняет построение эффективных алгоритмов расчета. В работе предлагается метод, в котором свободная граница находится путем решения краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка с нелокальным условием. Проведены тестовые расчеты, демонстрирующие эффективность предлагаемого метода.