В статье исследуются римановы многообразия с гармоническим тензором Вейля. Класс данных многообразий содержит: многообразия Эйнштейна, их произведения, конформно плоские римановы многообразия. В общем случае задача классификации римановых многообразий с гармоническим тензором Вейля представляется достаточно сложной. Естественно поэтому рассматривать ее в классе однородных римановых пространств, и, в частности, в классе групп Ли с левоинвариантной римановой метрикой. В размерности 3 тензор Вейля тривиален. Поэтому возникает вопрос о гармоничности тензора Вейля на метрических группах Ли размерности больше трех. В статье исследуются вещественные четырехмерные неунимодулярные разложимые группы Ли с левоинвариантной римановой метрикой и гармоническим тензором Вейля. Разработаны методы, которые позволяют свести задачу к решению системы полиномиальных уравнений в алгебрах Ли. С помощью дальнейшего исследования подобных систем методами дифференциальной геометрии, математического анализа и компьютерной алгебры в работе получена полная классификация вещественных четырехмерных неунимодулярных разложимых алгебр Ли, группы Ли которых наделены левоинвариантной римановой метрикой с гармоническим тензором Вейля.